Das Hexaeder

Das Wort „Hexaeder“ leitet sich aus dem Griechischen ab, dabei steht die Vorsilbe „Hexa-“ für die Zahl Sechs, und „-eder“ kommt von „hedra“ und bedeutet so viel wie Fläche. Damit ergibt sich auch schon das beschriebene Objekt: ein geometrischer Körper, der aus sechs aneinandergrenzenden Flächen besteht. Mit Sicherheit der bekannteste unter den platonischen Körper, denn es handelt sich um eine äußerst verbreitete Form, die man als den sogenannten „Würfel“ kennt.

Dabei weist er eine enorm hohe Symmetrie auf, denn er besteht aus sechs gleichen Flächen, die alle einem Quadrat entsprechen. Dieses ist in sich wiederum eine Form von ausgeprägter Symmetrie. Die hohe Symmetrie des Körpers zeigt sich z.B. darin, dass man ihn auf eine beliebige Fläche stellen kann, und er dabei immer exakt die gleiche Form aufzeigt.

Schaut man sich das Hexaeder genauer an, charakterisiert er sich durch die folgenden, geometrische Eigenschaften – er hat 8 Ecken, 12 Kanten, und an jede Ecke grenzen sowohl drei Kanten, als auch drei Flächen.

Wer sich tiefgreifender mit den mathematisch-geometrischen Eigenschaften des Hexaeders befassen möchte, der wird im Internet eine Menge (theoretisches) Material finden, das sich sehr gut zum Eigenstudium eignet. Dort findet sich einiges zu Inkreis, Kantenkreis, Umkreis, Symmetrieachsen, Oberfläche, Winkel, Maße, etc. Eingehender finde ich allerdings das direkte Experimentieren am Objekt selbst, um es im wahrsten Sinne des Wortes auf beliebige Art und Weise „begreifen“ zu können – über welchen Weg auch immer. Die daraus resultierenden Erkenntnisse sind nicht so formal und theoretisch, sondern sie werden sichtbar, und können in der spielerischen Auseinandersetzung mit dem Objekt unmittelbar erfahren werden.

So gibt es z.B. den zu einem platonischen Körper „dualen“ Körper, der wiederum ein platonischer Körper ist. Durch eine geometrische Transformation wird dieser in einen anderen platonischen Körper überführt, und weist damit eine Art der Verwandtschaft dieser Körper untereinander auf. Die Transformation funktioniert dabei folgendermaßen: wählt man die Mittelpunkte der Flächen eines Körpers als neue Eckpunkte, verbindet diese miteinander, erhält man einen neuen Körper (ich erlaube mir an dieser Stelle nicht näher auf die Vorgehensweise einzugehen, da auch diese Transformation, bzw. geometrische Eigenschaft im Internet bereits vielfältig dokumentiert zu finden ist). Im Fall des Hexaeders ist sein dualer Partner das Oktaeder, denn durch diese Transformation wird er in diesen überführt. Eine kleine Plausibilitätsprüfung legt es nah: er hat acht Flächen, so daß sich aus den jeweiligen Mittelpunkten wiederum acht Eckpunkte ergeben, und nur das Hexaeder, unter den platonischen Körpern, hat acht Ecken.

Eine weitere Form des Experimentierens ist die Parkettierung, bzw. die Ermittlung der lückenlosen Raumfüllung mit einem platonischen Körper. Wie sieht das beim Hexaeder aus – ist es machbar? Eine Möglichkeit dies zu Ermitteln geht über die Konstruktion eines Hexaeders doppelter Größe, bzw. mit der doppelter Kantenlänge, und zwar aus Hexaedern der ursprünglichen Größe. Die Vorstellungskraft lässt aber schon vermuten, dass diese Form der Parkettierung einfach zu realisieren ist, wie die folgenden Bilder demonstrieren…

Erster Schritt: ein Hexaeder.

Nächster Schritt: zwei Hexaeder.

Nächster Schritt: drei Hexaeder.

Nächster Schritt: vier Hexaeder.

Nächster Schritt: fünf Hexaeder.

Nächster Schritt: sechs Hexaeder.

Nächster Schritt: sieben Hexaeder.

Nächster Schritt: acht Hexaeder.

Für die Konstruktion eines Hexaeders doppelter Kantenlänge benötigt man also acht Hexaeder mit der ursprünglichen Kantenlänge, und die Parkettierung des Raumes ist möglich.