Das Dreieck ist, zusammen mit dem Kreis, eine der beiden elementarsten, also der einfachsten, möglichen Formen der Ebene.
Hat man einen ersten, beliebigen Punkt gewählt, ist damit eine Position bestimmt, ein Startpunkt, sozusagen ein Anker, um eine erste Raumdimension zu „verankern“. Mit einem zweiten Punkt definiert sich über die direkte Verbindung der beiden Punkte eine Achse, die erste Raumdimension. Zwischen den beiden Punkten liegt nun eine Strecke, und der erste Aspekt der Dualität zeigt sich in der (noch frei wählbaren) Orientierung dieser Strecke. D.h. beide (End-)Punkte können als Startpunkt ausgewählt werden, um die Strecke zu durchlaufen. Wählt man nun einen dritten Punkt, der nicht auf der Geraden durch die beiden ersten Punkt liegt, spannt man eine zweite Raumdimension auf, und bewegt sich im Bereich einer Ebene – die Geburt der Fläche.
Das Dreieck bestimmt sich nun in der Lage und der Größe durch genau drei Punkte, und zeigt damit schon direkt die enge Verwandtschaft zum Kreis auf – die zweite, elementare Form der Ebene, die sich ebenfalls durch genau drei Punkte in der Lage und der Größe definiert. Das entspricht der Dualität der Formbildung in der Ebene.
Hat man also drei Punkte, (die natürlich nicht alle drei auf einer einzigen Geraden liegen dürfen,) lässt sich daraus gleichzeitig ein Dreieck, als auch ein Kreis mit den folgenden Eigenschaften konstruieren: das Dreieck liegt innerhalb des Kreises und berührt diesen mit all seinen Eckpunkten. Der zugehörige Kreis bildet den Umkreis des eingeschlossenen Dreiecks.
Umkreis
Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der durch alle drei Ecken
des gegebenen Dreiecks geht.
Sein Mittelpunkt ist von den drei Ecken gleich weit entfernt, und
liegt daher auf dem Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.