Das gleichseitige Dreieck ist das Dreieck der höchstmöglichen Symmetrie, wie sich an den nachfolgend aufgelisteten, geometrischen Eigenschaften leicht erkennen lässt.
Alle Seiten haben die gleiche Länge, und alle Seitenpaare bilden den gleichen Winkel von 60°. Egal auf welcher Seite das Dreieck „steht“, oder aufgebaut wird, es ergibt sich immer exakt die gleiche Form.
Sowohl die Winkelhalbierenden, als auch die Seitenhalbierenden und die Mittelsenkrechten der Seiten entsprechen jeweils der gleichen Linie, und gehen alle durch den Schwerpunkt des Dreiecks. Gleichzeitig handelt es sich hier um die drei Symmetrieachsen des Dreiecks. Das ist bei keinem anderen Dreieck der Fall!
Die Zahl 3 spielt bei diesem Dreieck aber nicht nur geometrisch, sondern auch numerisch eine große Rolle. Eine Winkelhalbierende zeigt innerhalb des Dreiecks genau die Strecke an, mit der sich die Höhe dieses Dreiecks bestimmt. Alle drei Winkelhalbierenden schneiden sich dabei genau in einem Punkt, mit dem die Höhe des Dreieck gedrittelt wird. Dieser Schnittpunkt ist dabei der Mittelpunkt des Umkreises, und der längere Abschnitt der geteilten Höhe entspricht genau dem Radius des Umkreises. Der Verhältnisfaktor zwischen der Seitenlänge des Dreiecks und dem Radius des zugehörigen Umkreises ist dabei die Quadratwurzel aus 3.
Nimmt man nun noch den Inkreis dazu, erkennt man eine weitere, enge Verwandtschaft mit den Zahlen 2 und 4. Der Mittelpunkt des Umkreises ist dabei ebenfalls der Mittelpunkt des Inkreises, und der kleinere Abschnitt der geteilten Höhe entspricht genau dem Radius des Inkreises. Numerisch ausgedrückt steht er im Verhältnis 1:2 zum Radius des Umkreises (halbe Länge). Der Verhältnisfaktor zur Seitenlänge des Dreiecks entspricht der Quadratwurzel aus 12. Da die Radien der beiden Kreise im Verhältnis 1:2 stehen, stehen die Flächeninhalte der Kreise im Verhältnis 1:4.
Verdoppelt man nun die Seitenlänge des Dreiecks, entsteht ein größeres, gleichseitiges Dreieck, und es zeigt sich wieder das Verhältnis 1:4 der jeweiligen Flächeninhalte.
Nimmt man nun die ursprünglichen Linien der Kreise und Hilfslinien weg, erkennt man die abgewickelte Fläche des ersten, platonischen Körpers: das Tetraeder.
Klappt man die drei äußeren Dreiecke nach oben, oder unten, bis sich die Spitzen wieder berühren, hat man schließlich die dritte Raumdimension mit einem einfachen, hochsymmetrischen Körper erschlossen.
Inkreis
Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der alle drei Seiten des
gegebenen Dreiecks im Inneren berührt. Oder: Der Inkreis ist der größte Kreis, der im Inneren des Dreiecks liegt.
Der Mittelpunkt des Inkreises hat zu allen drei Seiten den gleichen Abstand und liegt daher auf dem Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.