Das Tetraeder

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Das Wort „Tetraeder“ leitet sich aus dem Griechischen ab, dabei steht die Vorsilbe „Tetra-“ für die Zahl Vier, und „-eder“ kommt von „hedra“ und bedeutet so viel wie Fläche. Damit ergibt sich auch schon das beschriebene Objekt: ein geometrischer Körper, der aus vier aneinandergrenzenden Flächen besteht.

Dabei weist er eine enorm hohe Symmetrie auf, denn er besteht aus vier gleichen Flächen, die alle einem gleichseitigen Dreieck entsprechen. Dieses ist in sich wiederum das Dreieck der höchstmöglichen Symmetrie (3 Symmetrieachsen, Punktsymmetrie, Rotationssymmetrisch zu vielfachen von 60°).

Die hohe Symmetrie des Körpers zeigt sich z.B. darin, dass man ihn auf eine beliebige Fläche stellen kann, und er dabei immer exakt die gleiche Form aufzeigt. In einem Aspekt weicht er in seiner Symmetrie allerdings von allen anderen platonischen Körpern ab, denn das Tetraeder ist als einziges nicht punktsymmetrisch.

Schaut man sich das Tetraeder genauer an, charakterisiert er sich durch die folgenden, geometrische Eigenschaften – er hat 4 Ecken, 6 Kanten, und an jede Ecke grenzen sowohl drei Kanten, als auch drei Flächen.

Es gelten folgenden Kennwerte:

  • die Höhe, wenn der Körper auf einer Fläche steht, entspricht der Quadratwurzel aus 2/3, multipliziert mit der Kantenlänge (entspricht ca. 81,6 % der Kantenlänge)
  • die Höhe zu einer Kante hin entspricht dem Kehrwert von der Quadratwurzel aus 2, multipliziert mit der Kantenlänge (entspricht ca. 70,7 % der Kantenlänge)
  • die Oberfläche entspricht der Quadratwurzel aus 3, multipliziert mit dem Quadrat der Kantenlänge
  • das Volumen entspricht einem Zwölftel der Quadratwurzel aus 2, multipliziert mit der dritten Potenz der Kantenlänge
  • der Winkel zwischen zwei Flächen beträgt ca. 70,5°
  • der Winkel zwischen einer Fläche und einer Kante beträgt ca. 54,7°

Wer sich tiefgreifender mit den mathematisch-geometrischen Eigenschaften des Tetraeders befassen möchte, der wird im Internet eine Menge (theoretisches) Material finden, das sich sehr gut zum Eigenstudium eignet. Dort findet sich einiges zu Inkreis, Kantenkreis, Umkreis, Symmetrieachsen, Oberfläche, Winkel, Maße, etc.

Eingehender finde ich allerdings das direkte Experimentieren am Objekt selbst, um es im wahrsten Sinne des Wortes auf beliebige Art und Weise „begreifen“ zu können – über welchen Weg auch immer. Die daraus resultierenden Erkenntnisse sind nicht so formal und theoretisch, sondern sie werden sichtbar, und können in der spielerischen Auseinandersetzung mit dem Objekt unmittelbar erfahren werden.

So gibt es z.B. den zu einem platonischen Körper „dualen“ Körper, der wiederum ein platonischer Körper ist. Durch eine geometrische Transformation wird dieser in einen anderen platonischen Körper überführt, und weist damit eine Art der Verwandtschaft dieser Körper untereinander auf. Im Fall des Tetraeders ist sein dualer Partner er selbst, denn durch diese Transformation wird er in sich selbst (in halber Größe natürlich) überführt. Er ist damit dual zu sich selbst. Eine kleine Plausibilitätsprüfung legt es nah: er hat vier Flächen, so daß sich aus den jeweiligen Mittelpunkten wiederum vier Eckpunkte ergeben, und nur das Tetraeder, unter den platonischen Körpern, hat vier Ecken.

Praktisches Beispiel

Eine weitere Form des Experimentierens ist die Parkettierung, bzw. die Ermittlung der lückenlosen Raumfüllung mit einem platonischen Körper. Wie sieht das beim Tetraeder aus – ist es machbar? Eine Möglichkeit dies zu Ermitteln geht über die Konstruktion eines Tetraeders doppelter Größe, bzw. mit der doppelter Kantenlänge, und zwar aus Tetraedern der ursprünglichen Größe.

Erster Schritt: ein Tetraeder.

Nächster Schritt: zwei Tetraeder.

Nächster Schritt: drei Tetraeder – sieht gut aus, denn die sich ergebende Fläche in der Mitte ist auch wieder ein gleichseitiges Dreieck.

Letzter Schritt: ein vierter Tetraeder wird oben drauf gesetzt. Die neue Form ist auch eindeutig wieder ein Tetraeder, und zwar mit der doppelten Kantenlänge. Aber welcher Körper ist in der Mitte der vier Tetraeder entstanden?

Schaut man sich den mittleren Bereich etwas genauer an, wird man die Fläche eines Quadrats entdecken, und das passt nicht zum Tetraeder. Allerdings kann es auch kein Würfel sein, denn die Oberflächen sind gleichseitige Dreiecke. Es bleibt also nur noch das Oktaeder. D.h. für die Konstruktion eines Tetraeders doppelter Kantenlänge benötigt man also vier Tetraeder mit der ursprünglichen Kantenlänge, sowie ein Oktaeder (der gleichen Kantenlänge). Über diesen Weg wird die Parkettierung des Raumes möglich, aber nicht mit dem Tetraeder alleine…

Anordnungssysteme…

Die Mathematik, bzw. auch die Festkörperphysik, befassen sich schon länger mit dem Thema der dichtest möglichen Kugelpackung im Raum, um ein besseres Verständnis über Mineralien und Kristallbildung aufbauen zu können.

Dabei wurde bereits 1831 von Carl Friedrich Gauß bewiesen, dass die hexagonale Anordnung gleich großer Kugeln die dichteste Kugelpackung im Raum ergibt.

Schaut man sich diese Anordnung einmal genauer an, entdeckt man genau die oben hergeleitete Struktur wieder. Das Grundelement dieser Anordnung ist das Tetraeder, wobei die Eckpunkte durch die Mittelpunkte der Kugeln abgebildet werden.

Man findet diese Anordnung z.B. beim Wasserstoff, wenn dieser unter 14,02 K, also unter -259,2 °C, abgekühlt wird. Der Wasserstoff geht dann vom flüssigen in den fest Zustand über und nimmt eine kristalline Struktur an, bei der sich die Wasserstoffatome in der hexagonal dichtesten Kugelpackung anordnen.

Der Atomkern des Heliums besteht aus 4 Nukleonen (2 Protonen und 2 Neutronen), die durch die starke Wechselwirkung zusammengehalten werden. Diese Kraft unterscheidet nicht zwischen Protonen und Neutronen, und bindet die Nukleonen zur dichtest möglichen Anordnung zusammen, womit sich wieder das Tetraeder zeigt.

Methan ist ein natürliches Gas und Hauptbestandteil von Erdgas. Seine chemische Summenformel lautet CH4, d.h. es besteht aus einem Kohlenstoffatom und vier Wasserstoffatomen. Die Wasserstoffatome verteilen sich in diesem Molekül gleichmäßig um das Kohlenstoffatom herum, und nehmen dadurch genau die Eckpunkte eines Tetraeders ein.

Calciumfluorid ist ein natürliches Mineral, besser bekannt unter den Namen Fluorit, bzw. Flussspat. Die Elemente Calcium und Fluor werden hier durch ionische Bindungen zusammengehalten, und ordnen sich zu einem regelmäßigen Kristallgitter an. In dessen Gefüge positioniert sich das Element Calcium genau wie die Ecken des Tetraeders zueinander.

Damit verwandte hexagonale Strukturen findet man an den unterschiedlichsten Stellen, wie z.B. den Bienenwaben, bei den Basaltprismen und -säulen in Island oder Rumänien, bei der Bildung von atmosphärischen Wasserkristallen (Schneeflocken), bei der Entstehung von Wolkencluster, sowie in der oberen Atmosphäre am Nordpol des Saturns.

Eine stabile Struktur, die man auf vielen Ebenen wiederentdeckt…