Le tétraèdre

Le mot « tétraèdre » vient de la langue grecque et se base sur les deux mots « tetra », qui signifie quatre, et « hedra », qui signifie face, ou surface. Cela préfigure déjà l’objet spécifié: un corps géométrique, se composant de quatre faces contigües.

Cependant il présente une symétrie énormément haute, parce qu’il consiste en quatre faces égales, qui sont toutes équivalentes au triangle équilatéral. Ce triangle lui-même est déjà celui de la plus haute symétrie possible (3 axes de symétries, symétrique par rapport à un point, symétrie de révolution au multiple de 60°).

La haute symétrie apparait par exemple par le fait de le posant sur n’importe quelle face, il gardera à chaque fois exactement la même forme. Toutefois il lui manque un aspect de symétrie par contraste aux autres corps platoniques, parce que le tétraèdre est le seul n’étant pas symétrique par rapport à un point.

Regardant le tétraèdre de plus proche révèle les caractéristiques géométriques suivantes: il se compose de 4 angles, 6 arêtes, et un angle avoisine 3 arêtes et 3 faces.

Les paramètres suivants sont valides:

  • positionné sur une face la hauteur est à la mesure de la racine carrée de 2/3, multiplié avec la longueur d’une arête (résultant à environ 81,6 % de la taille d’une arête)
  • positionné sur une arête la hauteur est à la mesure de l’inverse de la racine carrée de 2, multiplié avec la longueur d’une arête (résultant à environ 70,7 % de la taille d’une arête)
  • la surface est à la mesure de la racine carrée de 3, multiplié avec le carré de la longueur d’une arête
  • le volume est à la mesure d’un douzième de la racine carrée de 2, multiplié avec le cube de la longueur d’une arête
  • l’angle entre deux faces est d’environ 70,5°
  • l’angle entre une face et une arête est d’environ 54,7°

Celui voulant se pencher en profondeur sur les caractéristiques géométriques du tétraèdre trouvera plein de matériel approprié à l’autoformation sur Internet. Les sujets cercle inscrit, cercle d’arête, cercle circonscrit, axe de symétrie, face de symétrie et mesures sont traités en détail…

De mon point de vue faire ses propres expériences directement sur l’object est une manière plus profonde de faire connaissance de relation causale, quelle que soit la façon de procéder. Les découvertes résultantes ne sont pas si formelles et théoriques, mais plus apparentes, et peuvent être conçu immédiatement dans la réflexion ludique sur l’object.

Chaque corps platonique a par exemple toujours son corps dual, qui est de nouveau un corps platonique. Par une transformation géométrique un corps platonique est transposé à un autre corps platonique, en dévoilant de cet manière les parentés entres eux. Au cas du tétraèdre son corps dual est lui même, parce que la transformation le transpose de nouveau a un tétraèdre (de taille dédoublé). Il est alors dual à lui-même. Un petit test de plausibilité le rassure: il a quatre faces, de sorte que les points centraux résultent en quatre angles, et uniquement le tétraèdre, parmi les corps platoniques, dispose de quatre angles.

Exemple pratique

Une autre manière d’expérimenter avec cette forme est le parquetage, c’est-à-dire de remplir l’espace complètement d’un corps platonique. Que sera le résultat avec un tétraèdre – est-ce faisable? Une possibilité d’investiguer est la construction d’un tétraèdre de double taille, respectivement d’une longueur d’arête doublée, utilisant de tétraèdres à taille original.

Premier pas: un tétraèdre.

Prochain pas: deux tétraèdres.

Prochain pas: trois tétraèdres – c’est bien parti, parce que la face résultante au milieu est de nouveau un triangle équilatéral.

Dernier pas: un quatrième tétraèdre est positionné au-dessus. La nouvelle forme est évidemment le tétraèdre attendu, ayant la double longueur d’arête. Mais quel corps s’est produit au milieu des quatre tétraèdres?

Regardant cette région de plus proche fait apparaitre la face d’un carré, et cela ne correspond pas du tout au tétraèdre. Cependant ce n’est pas de cube (hexaèdre) non plus, parce que les surfaces sont toujours des triangles équilateraux. Il ne reste plus que l’octaèdre. Pour la construction d’un tétraèdre ayant deux fois la longueur d’arête on a besoin de quatre tétraèdres et d’un octaèdre à la longueur d’arête initiale. De cette manière il est possible de parqueter (complètement) l’espace, par contre non seulement de tétraèdre…

Systèmes d’arrangements…

La mathématique, mais aussi la physique de solide, s’occupent depuis longtemps du sujet d’empilement compact de sphères pour améliorer la compréhension des minéraux et de la cristallisation.

L’empilement hexagonal de sphères dans un espace à trois dimensions à été prouvé étant l’empilement le plus compact par Carl Friedrich Gauß déjà en 1831.

Examinant cet empilement plus en détail révèle exactement la structure déduit auparavant. L’élément de base est le tétraèdre, tandis que les centres des sphères représentent ces angles.

On peut trouver cet arrangement dans l’hydrogène refroidit en dessous de 14,02 K, respectivement -259,2 °C. L’hydrogène passe de l’état liquide à l’état solid et s’organise en structure cristalline, dans laquelle les atomes d’hydrogènes prennent l’arrangement d’empilement hexagonal.

Le noyau de l’atome de l’hélium consiste en quatre nucléons (2 protons et 2 neutrons) qui tiennent ensemble par l’interaction forte. Cette force ne fait pas la différence entre protons et neutrons et lie les nucléons ensemble, à un empilement très dense, le plus compacte possible, résultant à la forme du tétraèdre.

Le méthane est un gaz, étant le composant principal du gaz naturel. La formule de son molécule est CH4, il consiste alors en un atome de carbone et quatre atomes d’hydrogènes. Les atomes d’hydrogènes se placent régulièrement autour de l’atome de carbone, prenant alors exactement la position des angles d’un tétraèdre.

Fluorure de calcium est un minéral naturel, mieux connu sous le nom fluorine, ou fluorite. Les éléments calcium et fluor tiennent ensemble par liaison ionique, et ils s’organisent en structure cristalline régulière. Dans cet arrangement les atomes du calcium se positionnent comme les angles d’un tétraèdre.

De structures hexagonales apparentées se trouvent à différents endroits, par exemple dans les gaufres, dans les prismes et colonnes de basalte en Islande et Roumanie, la formation atmosphérique de cristaux d’eau (flocon de neige), la formation de cluster de nuages, ainsi que dans l’atmosphère supérieure au pôle Nord de Saturne.

Une structure stable, qu’on retrouve dans divers domaines…