L’octaèdre

Le mot « octaèdre » vient de la langue grecque et se base sur les deux mots « octo », qui signifie huit, et « hedra », qui signifie face, ou surface. Cela préfigure déjà l’objet spécifié: un corps géométrique, se composant de huit faces contigües.

Cependant il présente une symétrie énormément haute, parce qu’il consiste en huit faces égales, qui sont toutes équivalentes au triangle équilatéral. Ce triangle lui-même est déjà celui de la plus haute symétrie possible (3 axes de symétries, symétrique par rapport à un point, symétrie de révolution au multiple de 60°).

La haute symétrie apparait par exemple par le fait de le posant sur n’importe quelle face, il gardera à chaque fois exactement la même forme. De plus il est symétrique par rapport à un point.

Regardant le octaèdre de plus proche révèle les caractéristiques géométriques suivantes: il se compose de 6 angles, 12 arêtes, et un angle avoisine 4 arêtes et 4 faces.

Les paramètres suivants sont valides:

  • positionné sur un angle la hauteur est à la mesure de la racine carrée de 2, multiplié avec la longueur d’une arête (résultant à environ 141,4 % de la taille d’une arête). C’est le double de la hauteur du tétraèdre positionné sur une arête.
  • positionné sur une face la hauteur est à la mesure de la racine carrée de 2/3, multiplié avec la longueur d’une arête (résultant à environ 81,6 % de la taille d’une arête). C’est la hauteur du tétraèdre positionné sur une face.
  • la surface est à la mesure du double de la racine carrée de 3, multiplié avec le carré de la longueur d’une arête. C’est le double de la surface du tétraèdre.
  • le volume est à la mesure d’un tiers de la racine carrée de 2, multiplié avec le cube de la longueur d’une arête. C’est quatre fois le volume du tétraèdre.
  • l’angle entre deux faces d’un angle est d’environ 70,5°. Un angle qui figure aussi dans un tétraèdre.
  • l’angle entre deux faces d’une arête est d’environ 109,5°. C’est le double du deuxième angle du tétraèdre.
  • l’angle entre deux arête est l’angle droit, insinuant une relation au carré, respectivement au cube (hexaèdre).

Celui voulant se pencher en profondeur sur les caractéristiques géométriques de l’octaèdre trouvera plein de matériel approprié à l’autoformation sur Internet. Les sujets cercle inscrit, cercle d’arête, cercle circonscrit, axe de symétrie, face de symétrie et mesures sont traités en détail…

De mon point de vue faire ses propres expériences directement sur l’object est une manière plus profonde de faire connaissance de relation causale, quelle que soit la façon de procéder. Les découvertes résultantes ne sont pas si formelles et théoriques, mais plus apparentes, et peuvent être conçu immédiatement dans la réflexion ludique sur l’object.

Chaque corps platonique a par exemple toujours son corps dual, qui est de nouveau un corps platonique. Par une transformation géométrique un corps platonique est transposé à un autre corps platonique, en dévoilant de cet manière les parentés entres eux. Au cas de l’octaèdre son corps dual est le cube (hexaèdre). Un petit test de plausibilité le rassure: il a huit faces, de sorte que les points centraux résultent en huit angles, et uniquement l‘hexaèdre, parmi les corps platoniques, dispose de huit angles.

Exemple pratique

Une autre manière d’expérimenter avec cette forme est le parquetage, c’est-à-dire de remplir l’espace complètement d’un corps platonique. Que sera le résultat avec un octaèdre – est-ce faisable? Une possibilité d’investiguer est la construction d’un octaèdre de double taille, respectivement d’une longueur d’arête doublée, utilisant d’octaèdres à taille original.

Premier pas: un octaèdre.

Prochain pas: deux octaèdres.

Prochain pas: quatre octaèdres – c’est bien parti, parce que la forme résultante au milieu ressemble à un angle de l’octaèdre et elle est de nouveau encadré de triangles équilatéraux.

Dernier pas: un autre octaèdre est positionné au-dessus et en-dessous. La nouvelle forme est évidemment l’octaèdre attendu, ayant la double longueur d’arête. Mais quels corps se sont produit au milieu des six octaèdres?

Regardant attentivement la zone de devant, au milieu de la dernière photo, permet de deviner la forme – c’est un tétraèdre. La même parenté qu’avec le parquetage du tétraèdre se montre de nouveau. Dénombrant les corps donne le résultat suivant: pour la construction d’un octaèdre ayant deux fois la longueur d’arête on a besoin de six octaèdres et de huit tétraèdres à la longueur d’arête initiale. De cette manière il est possible de parqueter (complètement) l’espace, par contre non seulement d’octaèdre…