Das Oktaeder

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Das Wort „Oktaeder“ leitet sich aus dem Griechischen ab, dabei steht die Vorsilbe „Okta-“ für die Zahl Acht, und „-eder“ kommt von „hedra“ und bedeutet so viel wie Fläche. Damit ergibt sich auch schon das beschriebene Objekt: ein geometrischer Körper, der aus acht aneinandergrenzenden Flächen besteht.

Dabei weist er eine enorm hohe Symmetrie auf, denn er besteht aus acht gleichen Flächen, die alle einem gleichseitigen Dreieck entsprechen. Dieses ist in sich wiederum das Dreieck der höchstmöglichen Symmetrie(3 Symmetrieachsen, Punktsymmetrie, Rotationssymmetrisch zu vielfachen von 60°).

Die hohe Symmetrie des Körpers zeigt sich z.B. darin, dass man ihn auf eine beliebige Fläche stellen kann, und er dabei immer exakt die gleiche Form aufzeigt. Darüber hinaus ist er punktsymmetrisch.

Schaut man sich das Oktaeder genauer an, charakterisiert er sich durch die folgenden, geometrische Eigenschaften – er hat 6 Ecken, 12 Kanten, und an jede Ecke grenzen sowohl vier Kanten, als auch vier Flächen.

Es gelten folgenden Kennwerte:

  • die Höhe, wenn der Körper auf der Spitze steht, entspricht der Quadratwurzel aus 2, multipliziert mit der Kantenlänge (entspricht ca. 141,4 % der Kantenlänge). Das ist exakt die doppelte Höhe des auf der Kante stehenden Tetraeders.
  • die Höhe, wenn der Körper auf einer Fläche steht, entspricht der Quadratwurzel aus 2/3, multipliziert mit der Kantenlänge (entspricht ca. 81,6 % der Kantenlänge). Das ist exakt die Höhe des auf einer Fläche stehenden Tetraeders.
  • die Oberfläche entspricht der zweifachen Quadratwurzel aus 3, multipliziert mit dem Quadrat der Kantenlänge. Damit hat er genau das doppelte der Oberfläche eines Tetraeders.
  • das Volumen entspricht einem Drittel der Quadratwurzel aus 2, multipliziert mit der dritten Potenz der Kantenlänge. Damit hat er genau das vierfache des Volumens eines Tetraeders.
  • der Winkel zwischen zwei Flächen an einer Spitze beträgt ca. 70,5°. Dieser Winkel kommt auch beim Tetraeder vor.
  • der Winkel zwischen zwei Flächen an einer Kante beträgt ca. 109,5°. Das entspricht exakt dem doppelten des zweiten Tetraeder-Winkels.
  • der Winkel zwischen zwei Kanten ist ein rechter Winkel, beträgt also immer 90°. Hier zeigt sich auch nochmal die Verwandtschaft zum Quadrat, bzw. zum Hexaeder.

Wer sich tiefgreifender mit den mathematisch-geometrischen Eigenschaften des Oktaeders befassen möchte, der wird im Internet eine Menge (theoretisches) Material finden, das sich sehr gut zum Eigenstudium eignet. Dort findet sich einiges zu Inkreis, Kantenkreis, Umkreis, Symmetrieachsen, Oberfläche, Winkel, Maße, etc.

Eingehender finde ich allerdings das direkte Experimentieren am Objekt selbst, um es im wahrsten Sinne des Wortes auf beliebige Art und Weise „begreifen“ zu können – über welchen Weg auch immer. Die daraus resultierenden Erkenntnisse sind nicht so formal und theoretisch, sondern sie werden sichtbar, und können in der spielerischen Auseinandersetzung mit dem Objekt unmittelbar erfahren werden.

So gibt es z.B. den zu einem platonischen Körper „dualen“ Körper, der wiederum ein platonischer Körper ist. Durch eine geometrische Transformation wird dieser in einen anderen platonischen Körper überführt, und weist damit eine Art der Verwandtschaft dieser Körper untereinander auf. Im Fall des Oktaeders ist sein dualer Partner das Hexaeder (Würfel). Eine kleine Plausibilitätsprüfung legt es nah: er hat acht Flächen, so daß sich aus den jeweiligen Mittelpunkten wiederum acht Eckpunkte ergeben, und nur das Hexaeder, unter den platonischen Körpern, hat acht Ecken.

Praktisches Beispiel

Eine weitere Form des Experimentierens ist die Parkettierung, bzw. die Ermittlung der lückenlosen Raumfüllung mit einem platonischen Körper. Wie sieht das beim Oktaeder aus – ist es machbar? Eine Möglichkeit dies zu Ermitteln geht über die Konstruktion eines Oktaeders doppelter Größe, bzw. mit der doppelter Kantenlänge, und zwar aus Oktaedern der ursprünglichen Größe.

Erster Schritt: ein Oktaeder.

Nächster Schritt: zwei Oktaeder.

Nächster Schritt: vier Oktaeder – sieht gut aus, denn die sich ergebende Form in der Mitte sieht aus wie die Spitze eines Oktaeders und besteht auch wieder aus gleichseitigen Dreiecken.

Letzter Schritt: oben und unten wurde noch ein Oktaeder drauf gesetzt. Die neue Form ist auch eindeutig wieder ein Oktaeder, und zwar mit der doppelten Kantenlänge. Aber welche Körper sind in den kleinen Lücken zwischen den Oktaedern entstanden?

Mit etwas Übung und Geduld kann man es im vorderen, oberen Bereich des letzten Bildes erkennen – es ist ein Tetraeder. Es zeigt sich also die gleiche Verwandtschaft, wie bei der Parkettierung des Raums mit einem Tetraeder. Wenn man jetzt aufmerksam durchzählt, wird man auf das folgende Ergebnis kommen: für die Konstruktion eines Oktaeders doppelter Kantenlänge benötigt man also sechs Oktaeder mit der ursprünglichen Kantenlänge, sowie acht Tetraeder (der gleichen Kantenlänge). Über diesen Weg wird die Parkettierung des Raumes möglich, aber nicht mit dem Oktaeder alleine…